正多面體不會多過五種

      已知的正多面體有: 正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體等五種 (如圖)


由於

構成一個立體角的所有平面角的和小於360;

一個立體角最少由 3 隻平面角構成;

正多面體的每個立體角由相同數目的平面角構成

如果正多面體由三角形組成,因為三角形的每隻角為 60,所以正多面體的立體角只能由 3 隻平面角構成 (正四面體),或由 4 隻平面角構成 (正八面體),或由 5 隻平面角構成 (正二十面體) ; 而多於 5 60的角並不能構成一立體角,所以只有 3 種由正三角形組成的正多面體。

如果正多面體由正方形組成,因為正方形的每隻角為 90,所以可以由 3 隻平面角構成正多面體的立體角 (即正六面體),而多於 3 90 的角並不能構成一立體角,所以只有一種正多面體由正方形組成。

如果正多面體由正五邊形組成,因為正五邊形的每隻角為 108,可以由 3 隻平面角構成正多面體的立體角 (即正十二面體),而多於 3 108 的角並不能構成一立體角,所以只有一種正多面體由正五邊形組成。

因為其他正多邊形的內角大於或等於 120,所以不能用這些角構成立體角, 所以沒有其他正多面體。

 

正多面體的體積與表面積

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